28.ECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

ECUACIONES LINEALES:

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}3\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&\,x_{3}&=&1\\2\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&4\,x_{3}&=&-2\\-\,x_{1}&+&{\frac {1}{2}}\,x_{2}&-&\,x_{3}&=&0\end{array}}\right.}$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Un sistema con ${\displaystyle n}$ incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas lineales

• Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

• Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

• Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

• Sistema incompatible si no tiene solución.

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

ECUACIONES CUADRÁTICAS: 

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\;\;{\mbox{donde}}\;a\neq 0}$

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.

2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
 
 

Ejemplo:
9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x²  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10 
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 
Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. 

SISTEMA DE ECUACIONES:

En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

La forma genérica de un sistema de ${\displaystyle m\,}$ ecuaciones algebraicas y ${\displaystyle n\,}$ incógnitas es la siguiente:

donde ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{m}}$ son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión ${\displaystyle F_{i}\,}$ con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Representación gráfica

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones ${\displaystyle F_{i}\,}$ en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

Clasificación de los sistemas

Un sistema de ecuaciones sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:

• Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
  • Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, ${\displaystyle \#{\mathcal {S}}\leq \aleph _{0}}$.
  • Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua, ${\displaystyle \#{\mathcal {S}}=\aleph _{1}}$.
• Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing }$.

Sistema lineal general

Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término ${\displaystyle a_{ij}\,}$ representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las ${\displaystyle Y\,}$ incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada ${\displaystyle b_{i}\,}$ representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&b_{1}\\0&1&\cdots &0&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&b_{X}\end{pmatrix}}}$

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término ${\displaystyle b_{i}\,}$ se corresponderá con el de la incógnita ${\displaystyle x_{i}\,}$. Si queda alguna fila del tipo ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&b_{X}\\\end{pmatrix}}}$, con ${\displaystyle b_{X}\neq 0\,}$, el sistema no tendrá solución.

Ejemplos:

• Un sistema lineal incompatible es ${\displaystyle \{54x-36y=9,-54x+36y=30\}}$, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.
• Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es ${\displaystyle \{x+y=1,2x+2y=2\}}$ ya que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.
• Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado es ${\displaystyle \{2x+3y=9,3x-2y=7\}}$ cuya solución única es ${\displaystyle y=1}$ y ${\displaystyle x=3}$.