29: CORTES EN EL CILINDRO Y EL CONO RECTO

Secciones y cortes en cilindros y conos Cilindro sólido: cuerpo que puede generarse cuando un rectángulo gira. Un cono sólido se genera cuando un triángulo isósceles gira en torno a su eje de simetría.

El desarrollo plano del cilindro está formado por dos caras circulares llamadas bases y una cara lateral que es un rectángulo.

El desarrollo plano del cono está formado por  una cara circular llamada base y por una cara lateral curva que es un sector circular.

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Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

n función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

• β < α : Hipérbola (naranja)
• β = α : Parábola (azulado)
• β > α : Elipse (verde)
• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Y β= 180º : Triangular

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

• Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
• Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
• Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
• Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Además de los focos F y F´, en una elipse se destacan los siguientes elementos:

• Centro, O
• Eje mayor, AA´
• Eje menor, BB´
• Distancia focal, OF

La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:

• Centro, O
• Vértices, A y A
• Distancia entre los vértices
• Distancia entre los focos

La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ A su vez, la de una hipérbola vertical es: ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, de una parábola se destacan los siguientes elementos:

• Eje, e
• Vértice, V
• Distancia de F a d, p.

Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: ${\displaystyle \ y=a{x^{2}}\,}$